但计较上每每难以操作

  区别或关系都是统一对陪伴函子:纯真形做为拓扑空间能够视为纯真调集的几何实现,而任一拓扑空间能够通过考虑其奇异调集获得一个纯真形;这里几何实现是奇异调集的左陪伴。必赢体育。正在纯真形上能够很初等地定义(上)同调,而空间的奇异(上)同调则是其奇异调集的纯真(上)同调。

  Le temps fera vivre le temps et la vie servira la vie.

  背后更深层的缘由是这对陪伴对的counit,即从空间出发取奇异调集、再取几何实现,有射到原空间的映照,这个映照能够视为拓扑空间范围中的“弱同伦等价”。相对的,这对陪伴对的unit,即纯真调集(或纯真形)取几何实现再取奇异调集,有从原纯真形射出的映照,这同样也是纯真调集范围中的弱同伦等价。一言以蔽之,纯真调集的模子范围和拓扑空间的模子范围之间存正在奎伦等价(Quillen equivalence)。若是感觉这一套工具太笼统艰涩,它其实只是说,正在同伦意义上拓扑空间和纯真调集根基分歧,即对纯真形稍做拓展就可用于模仿拓扑空间。

  我也晓得纯真同调是汗青上晚期对纯真形进行研究,然后进行纯真剖分。而奇异同调则是考虑映照等等 有没有更较着的对比啊

  可是,singular homology groups并不克不及间接计较,所以有的时候就回到simplicial计较。

  缘由之一是同调群是为了正在肆意空间中定义的,而不只仅是可纯真剖分的空间。别的,由持续映照的同态比力间接,函子性质也比力好证明。

  最初说说一些感性的认识:同调群于同伦群的劣势正在于强可计较性这一认识是基于对空间做纯真模仿来实现的,并且适用入彀算的纯真同调一般都是无限的,相对而言也较为“刚硬”,且只合用于部门空间。而肆意空间的奇异调集都是一个庞大的、常常是不成数的奥秘纯真形,然而正因如斯才答应(正在同伦意义上)有丰硕而奇异的外形,能定义正在肆意空间上,但计较上常常难以操做。很的说,前者是一套计较东西,后者是一套理论东西,而它们的(上)同调分歧则是奎伦等价的成果,也使得这套(上)同调论至多正在好的环境下是可计较的。

  对于可纯真剖分空间(triangulable)来说,simplicial和singular group是同构的。Munkres正在书中说,比拟simplicial theory, singular homology theory愈加“天然”(原文是natural)。